素數的定義很簡單，小學生都懂，但卻有許多經典的數學未解之謎都與它有關。

因此，素數在數論中的地位非常重要。

現在，一個跟它有關的猜想，就被26歲的牛津大學在讀博士生給證明了。

這是匈牙利數學家最早在1930年代提出來的一個關于原始集的問題。

由于小哥用到的都是已有論點，許多數學家都被他的聰明方法驚到了。

具體是什么，一起來看。

（前方一些高能預警。。）

來自1935年的猜想

首先，不知道原始集（Primitive sets）這個概念大家熟不熟。

它和素數的定義差不多，指的是一組不能互相被整除的數字的集合，比如{6，28，496，8128}。

當然，這些數都要大于1。

由于素數只能被1和它本身整除，那么任何素數組成的集合就屬于一種特殊的原始集。

△ 圖源Quanta Magazine

原始集這個概念是由匈牙利數學家Paul Erd?s在1930年代提出的，最早只是用于證明起源于古希臘的完美數。

雖然它的定義很簡單，但圍繞著它也產生了一些很有趣的屬性。

比如你無法確定原始集到底有多少種組合，就比如在1-1000這些數中，占去一半數量的501-1000，拿出其中任意幾個數字都可以構成一個原始集，因為它們都無法被互相整除。

不過雖然無法確定組合有多大，但Paul Erd?s發現對于任何原始集（包括無限集），它的“Erd?s和”都有上界，即小于或等于某個數字。

什么是“Erd?s和”？

就是對集合中的每個數字n求表達式1/(n log n)的和，用公式表達就是這樣：

比如集合{2, 3, 55}，它的“Erd?s和”就等于 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55)。

前面說到，“Erd?s和”是有界的，但我們都沒法知道最大的集合長什么樣，這個界又何以知曉呢？

盡管如此，1988年，Erd?s還是給出了一個值，它推測這個界為某個素數組成的原始集的和，為1.64。

這個猜想也把素數再次推上了“特立獨行”的“風口浪尖”（這也就是標題里所說的“一個素數猜想”的具體含義了）。

幾十年來，數學家們在證明這個猜想方面只取得了部分進展。

從大四接觸到這個問題就被迷住了

牛津大學的博士生小哥Jared Duker Lichtman，從2018年開始接觸到這個問題。

那會兒他還是達特茅斯學院的一名大四本科生。

他回憶稱，自己一下子就被這個猜想迷住了：“這么奇怪的推測怎么會是真的呢，太不可思議了吧？”

于是接下來的四年間，從本科到牛津大學讀博，小哥就跟這個猜想“杠”上了。

先證明了不大于1.78

誰能想到，2018年，他和他在達特茅斯學院的導師Carl Pomerance還真先一起側面證明了原始集的“Erd?s和”不會大于1.78左右的猜想。

這個猜想是美國數學家弗蘭茲·梅爾滕斯（Franz Mertens）提出來的。

他們算出這個常數的辦法是先寫下原始集中每個數字的倍數，然后將每個序列中這些倍數進行分解，出現了比當前原始數的最大質因數還要小的因數，就要丟掉。

然后將剩余的數字組成一個新集合。

舉個具體例子。

假如原始集為{2, 3, 5}，那么2的最大質因數是2，3的最大質因數是3，5的最大質因數是5。

所有2的倍數全部合格，因為它們都是2的公倍數，沒有超過2的質因數2；

所有3的倍數中，只要是素數2的公倍數（因為沒有超過質因數3），都要被扔掉，也就是6、12、18都不合格；

所有5的倍數中，只要是素數2和3的公倍數(因為沒有超過質因數5)，也要被pass，因此10、15、20、30不合格；

再比如55的倍數中，只要是素數2、3、5、7的公倍數，也要被pass，因為55的最大質因數為11。

△ 圖源Quanta Magazine

牛津小哥將這種方法比作字典的索引方式，只不過字典是按字母，這是按素數來組織每個序列。

得到新的集合后，他和導師又開始算這些倍數序列的“密度”。就拿所有偶數來說，它的序列“密度”就是為1/2，因為所有偶數占所有整數的一半。

然后啊，他們就觀察到，如果給定的一個集合是原始集，那么所有倍數序列就不會重疊（overlap），因為他們的組合“密度”最多為1。

（為什么為1，因為整數的序列“密度”就是1。）

有了“密度”，就可以算集合的“Erd?s和”了，根據弗蘭茲·梅爾滕斯提出的定理，一個大約等于1.78的特殊常數乘以集合倍數的組合“密度”，就可以得出原始集的最大“Erd?s和”。

由于小哥和導師證明集合的“密度”最大為1，也就從側面證明了“Erd?s和”的最大值為1.78。

小哥在牛津大學的導師對此贊賞有加，稱小哥和原導師的方法其實是Paul Erd?s最初方法的一種變體，但它更巧妙，得到了一個“not-tight”和“not-too-bad”的上界。

與此同時，大家認為他們的這個方法似乎已經是目前最頂尖的數學家才可以做到的。

再證明1.64

好，成功了一小步，接下來如何才能把范圍縮小，證明Erd?s給出的1.64呢？

小哥發現，他和前導師的那一套理論對于質因數較小的數字組成的原始集是有效的，可以比較輕松地就證明出來甚至比1.64還小的常數。

不過質因數大了就不太行。

左思右想，轉眼到了博士三年級，他發現可以給集合中的每個數字關聯不止一個倍數序列。

但和之前一樣，所有這些序列的組合密度最多為1。

比如對于618這個數字（2 x 3 × 103）來說，按照以前的方法不可以出現比103倍還小的倍數，但現在可以用比103倍還小的倍數組成序列，比如5倍。

（至于5倍還是幾倍，這都是有一套約束規則決定的。）

接著他又找到了一種更準確地算出這些序列的組合“密度”的方法。

最終，他仔細考慮了原始集的各種情況，在具有最大質因數和最小質因的數字之間找到了一個平衡，將2018年和現在的兩部分證明拼湊在一起，最終證明了“Erd?s和”小于1.64。

前后一共花了四年的小哥表示，得出這個結果不知道是運氣好碰上了還是啥，總之做到了。

詳細證明過程已經被他寫成了論文發在了arXiv。

粗略一番……幾乎是三行一個公式的情況。感興趣的數學大佬可以去看看。

有數學家指出，牛津小哥這個證明結果真的太引人注目了，因為他的方法非常聰明，完全依賴于已有論點就做到了。

與此同時，同行還表示，這一證明鞏固了素數在原始集合中的特殊地位。

One More Thing

ps. 小哥有多厲害，可以從大家的反應側面感受到。

就比如有網友通過小哥的個人主頁扒到他列出的最近出版物，發現從2018年到現在一共有至少18篇。

才讀到博士就有這么多論文，這一數字讓大家很是震驚。

但有人就站出來表示了：不足為奇，畢竟天才就是天才啊。（手動狗頭）

論文地址：https://arxiv.org/abs/2202.02384

參考鏈接：[1]https://www.quantamagazine.org/graduate-students-side-project-proves-prime-number-conjecture-20220606/[2]https://news.ycombinator.com/item?id=31640297

關鍵詞： 他26歲發表論文18篇 剛把上世紀的素數猜